二叉樹基本概念講解及創建
時間：2018-08-16 來源：未知
一、簡介
世界上的樹有千萬種，我們這里來學習我們數據結構中的樹，它是我們現實生活中倒置的樹。之前，我們學習的順序表，鏈表，棧、和隊列。可以說都是我們的線性結構，也就是我們所謂的一對一的結構，可是現實生活中，我們經常碰到是我們一對多的情況。今天，我們就來研究一下這種一對多的數據結構體-----“樹”。那么，什么叫做樹呢？
二、樹的基本概念簡介
<1>樹的定義
專業定義：(1)有且只有一個稱為根的結點
(2)有若干不相交的子樹，這些子樹本身也是一顆樹。
通俗講解：
(1)樹由結點和邊組成
(2)樹中除根節點外，每一個節點都有一個父結點，但是 可以用多個子節點。
(3)根結點沒有父結點
<2>樹中的專業術語
節點 ： 父節點 子節點(老子和兒子) 堂兄弟
度： 結點擁有子樹的個數
葉子節點：沒有子節點的節點
邊 : 一個節點到另一個節點的距離
樹的深度：節點的層數， 根節點默認為第一層。
有序 ：樹的左右位置不能改變。
<3>樹的分類
一般樹 ： 任意一個結點的子節點的個數不受限制，則稱為一般樹。(子節點可以有多個)，如下圖：
二叉樹(重點)：任意一個節點的子節點的個數多有兩個，且子節點的個數不能更改。
森林：樹去掉根結點就稱之為森林。
提問：在下圖中：
<1>A,B,H,I的度分別是多少?
A:3 B : 2 H: 1 I: 0
<2>葉子節點有哪些?
K ,L,F,G,H,I,J
<3>結點F和I在樹中的第幾層?
F在第3層。
M在第4層
<4>樹的深度是多少?
4
三、二叉樹的特性講解
<1>二叉樹的性質講解
如下圖是一顆二叉樹，它有一些特性：
思考：第一層多有多少個? 1個
第二層多有多少個? 2 個
第三層多有多少個? 4 ?
規律：第i層結點后有2的n - 1次方個。
性質1:二叉樹的第i層上的結點多有2的i - 1次方個節點。
思考：深度為1的二叉樹(遍歷第一層)一共有多少個節點? 1個
深度為2的二叉樹(遍歷到第二層)一共有多少個節點? 3個
深度為3的二叉樹(遍歷到第三層)一共有多少個節點? 7個
規律：深度為k的而出書，多有2的k次方 - 1個節點。
性質2：深度為k的二叉樹多有2的k次方-1個結點。
性質3：在任意一棵二叉樹中，樹葉的數目比度數為2的結點的數目多1.
(推導過程入下圖所示：)
<2>二叉樹的分類
滿二叉樹：在一顆二叉樹中，如果所有的分支節點都存在左子樹和右子樹，并且所有的葉子節點都在同一層上，這樣的二叉樹，我們稱之為滿二叉樹。
滿二叉樹的特點：<1>葉子節點只會出現在下面一層。
<2>非葉子節點的節點，擁有子樹的個數一定為2.
<3>在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的節點個數多。
完全二叉樹：對一顆具有n個結點的二叉樹按層進行編號，如果編號為i
(1 <= i <= n)的結點與同樣深度的滿二叉樹節點編號為i的結點
在二叉樹中的位置完全相同，則這顆樹，我們稱之為完全二叉樹。
如下圖所示。
提問：下面這些樹，是完全二叉樹嗎? 不是
總結：滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹。
四、二叉樹的存儲
(1)順序存儲[完全二叉樹]
(順序存儲的話，若不是完全二叉樹存儲沒有意義。)
假設下面有一顆樹，我們如何把它存到數組中呢?
思路：先把轉換成完全二叉樹，然后再編號。
這樣存儲就看似沒有什么問題。我們可以按照編號把數據存儲到數組中，我們按照編號(1,2,3,4,5)的順序存儲就可以了啊!這個時候，我就要問了，假說說，我們的m的編號，你怎么知道我們的3好位置是在下面，而不是在我們的m編號的位置呢?我們的連續存儲無法識別。(這種方法，我們無法推斷樹的結構)。
因此，我們順序存儲規定：
無論是何種樹，我們都會轉換成完全二叉樹。然后一層一層的從左給我們的二叉樹進行編號，然后存儲在數組中。及如下圖。
那么我們以上的存儲有什么規律呢?假設某個節點為i的話，我們來觀察一下。
是不是所有的左孩子都是偶數，所有的右孩子都是奇數啊！
完全二叉樹的特點：
對于編號為i(i>=1)的結點：
(1)左孩子存在：2 * i <= n(節點的個數)，左孩子編號
(2)右孩子存儲：2 * i + 1 <= n,右孩子編號 2 * i + 1
(2)鏈式存儲[完全二叉樹]
鏈式存儲：定義結點保存左孩子和右孩子的地址。
思考：上述過程，我們的二叉樹應該定義什么樣的數據類型來保存結點呢？
<4>二叉樹的遍歷
(1)層次遍歷:從上到下一層一層的遍歷
(2)前序遍歷:根 、左(左子樹)、右(右子樹)
(3)中序遍歷:左(左子樹) 、根 、右(右子樹)
(4)后序遍歷:左(左子樹)、右(右子樹)、根
規則：遇到根結點則輸出，否則遍歷。
層次遍歷：ABCDEFGHI
先序遍歷：ABDGHCEIF
中序遍歷：GDHBAEICF
后序遍歷：GHDBIEFCA
完全二叉樹的遞歸創建思路：
1.首先，寫一個創建單個節點的函數malloc_bnode，左孩子和右孩子都為空并且填充，我們需要的數據
2.然后寫一個創建二叉樹的函數create_binarytree()函數。調用malloc_bond
函數創建節點，然后判斷結點有沒有左孩子和右孩子。
2 *num <= n ，左孩子存在 (num為我們的結點編號，n為我們的結點個數)
再次，調用create_binarytree()創建該編號的孩子。
2 *num + 1 <=n,右孩子存儲。
再次，調用create_binarytree()創建該編號的孩子，后返回根節點。
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